化解未来小学应用题的痛苦,从连续“数量”的数学认知开始

化解未来小学应用题的痛苦,从连续“数量”的数学认知开始
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好久没聊数学了,我们总说,启蒙阶段和未来的学校教育之间有着很重要的关系,这种关系不是说提前上课,而是打好基础。今天举个例子,聊一下数学启蒙和很多家长在小学“中段”会遇到的一种焦虑:解应用题。

在小学三四年级,我们会比较常看到这种类型的应用题:爸爸比小明大26岁,2年前爸爸的年龄是小明的3倍,问小明现在几岁?

对于大部分家长来说,这种题目最简单的解法就是列个方程:

x+26=(x-2)*3+2

但在小学五年级之前,数学课是没有教未知数方程的,也不允许提前教孩子使用方程进行解题。这让很多家长在辅导孩子学数学的时候很郁闷。

我们也提到过,这种教学顺序的设置,其实是有原因的 —— 在数学教育的初期,应该更注重数和形的结合,如果过早的采用抽象和纯计算的方程来进行解题,会减少孩子对于数学的形象认知,从而对未来更深层的数学知识造成认知困难。(这个我们可以某个周末和大家聊聊,比如从数形结合的角度,如何理解虚数等比较深的数学概念。)

目前的小学数学教材,在学习方程之前,解应用题的主要方式之一,是线段图。比如上面那道题,会画成下面这种线段对比图,用这种方法来解题。

类似的题目还有很多,比如:三个小朋友跳绳,一共跳了92下,其中小军比小明多跳了8下,小荣比小军多跳了10下,问三个人各跳了几下。用线段图解题,就是画成下面一样。

这种线段解题法,是很多孩子在小学三四年级会遇到的难点,而很多家长们小时候也没接触过这种解题方式,或者可能忘了,自己辅导起来也有点晕。

那这种看起来很辛苦的解题方法的意义是什么呢?

首先我们想一下,“数”是什么。

最初,我们学习的数就是从1数到10,然后100,这些自然数;然后多了个0;之后又学了分数,小数,负数,到了中学,又学习了无理数,然后又是虚数。当然,还有可能接触到超越这些数的概念。

这里其实有一个有趣的规律 —— 我们接触数是从自然数 →有理数(整数+分数) →实数(有理数+无理数)→复数(实数+虚数)这样的顺序开始。

而在数的海洋中:

每一个自然数,对应无穷多个有理数(两个整数之间you无穷多个分数);

每一个有理数,对应无穷多个实数;

每一个实数,对应无穷多个复数。

所以,虽然数苹果是每个人最开始接触数字的主要方式,但不能把认数,简单的等恒峰app同于从1开始认自然数,因为这只是无穷多分之一的无穷分之一的无穷分之一的数。

不过在小学一二年级,主要也是靠类似数苹果的方式进行数学教育的。

但到了三四年级,分数和小数的概念开始进入教材,也就是说,孩子们脑中的“数”,不仅仅是一个个自然数的点,而是要把自然数连成一条线。在两个自然数的点中,需要补充进去密密麻麻的分数和小数。

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所以“线段图”解题法,就很符合这个阶段的教育要求了。

我们再看看前面那道题的线段图,这里蕴含的教学目标,其实是让小朋友将数的认知,从一个个的苹果、书本、铅笔,变成一条线,也就是之后会接触到的:数轴。

那这个和数学启蒙的关系是什么呢?

我们在以前就说过很多次,在数学启蒙中,核心不是从1数到几,而是了解数量、形状、尺寸、组合、时间、模式、组织归纳等数学概念。(点击阅读:数学启蒙的赢家,和谁先数到100无关)。

很多时候,家长一听到数形结合,从具象到抽象,这些数学启蒙的指导,马上想到的就是数苹果,数小熊。但如果只是数数字,不管是用苹果还是用小熊,孩子的确可以通过强化记忆,很快从1开始背,但这样的副作用,就是强化了数=一个个的“点”的概念,无法将数从点连成一条线。

从具象到抽象的意思,并不是说,就是“用苹果数数字”,而是说用具体的事物,来感知抽象的数学概念。

那如何做数学启蒙,从跳跃的自然数概念,变成连续的数轴概念呢?其实就是别忘了“数量”中还有一个“量”字。

因为我们总觉得数量就是数,就是自然数,忘了数量的意思是用数来表示量,核心其实是落在“量”上。

什么是“量”?

量是一个自然科学概念,高冷一点的解释是“幅度和重次”。“重次(重复次数)”其实就是一个个的重复计数次数。我们叫它是离散的,最终会变成,一个个人,一个个积木,一个个基本粒子。而“幅度”则是连续的,是对事物状态的描述,比如重和轻,长和短,宽和窄,大和小,多和少。

启蒙离散的“重次”比较好理解,就是数东西。而启蒙连续的“幅度”,就需要一些道具了。

最直观的是丈量长度,用软尺,或者一根绳子,这就是最简单的“幅度”。软尺就是我们日常生活中最常见的“数轴”,自然也是小朋友最初也是最方便感知“数量”的一种方式。

在学习数的时候,使用积木、小熊这些来练习计数是必要的,但同时也需要用连续的整体来进行“数量”概念的了解,比如不用1个积木和3个积木来对比1和3,而是用体积为1的积木,对比体积为3的积木。

除了积木体积的区别,液体也是很好的“连续”数量感知辅助教具。比如拿一个小杯子装水往一个空的饮料瓶里倒,倒一杯就标记一格,这样就可以制作自己的“容量瓶”,然后再尝试怎样添加水,刚好满x格。

而我们身边最常见的连续概念,其实是逝者如斯夫的时间,各种快慢的感知,也是连续的数量认知。可以和小朋友一起打开手机的秒表计时器做游戏,看看谁能最准确的在某个时间,比如5秒点下去。这就是很好的连续数量认知的启蒙。

当然,数量的连续性认知,并不仅仅是为了做几道小学应用题,对于初中、高中的数学知识也是很重要的基础。我们最近几周的周末,暂停一下语文课,来聊这个吧。

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